贝叶斯公式及经典例子有哪些？
2024-05-11 00:08
1. 贝叶斯公式及经典例子有哪些？
公式：P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)，贝叶斯公式其实就是找事件发生的原因的概率。 贝叶斯定理用于投资决策分析是在已知相关项目B的资料，而缺乏论证项目A的直接资料时，通过对B项目的有关状态及发生概率分析推导A项目的状态及发生概率。 如果用数学语言描绘，即当已知事件Bi的概率P（Bi）和事件Bi已发生条件下事件A的概率P（A│Bi），则可运用贝叶斯定理计算出在事件A发生条件下事件Bi的概率P（Bi│A）。 贝叶斯法则 通常，事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系，贝叶斯法则就是这种关系的陈述。 作为一个规范的原理，贝叶斯法则对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中概率如何被赋值有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。
2. 贝叶斯公式的通俗解释
贝叶斯法则通俗解释是：通常，事件 A 在事件 B （发生）的条件下的概率，与事件 B 在事件 A 的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系，贝叶斯法则就是这种关系的陈述。 贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如 P ( A|B ）和 P ( B|A )。按照乘法法则，可以立刻导出： P ( AnB )= P ( A ) P ( B|A )= P ( B）*P ( A|B )。如上公式也可变形为：P ( A|B )= P （A）*P( B|A )= P ( B )* P ( A|B )。 贝叶斯公式的用途在于通过己知三个概率来推测第四个概率。它的内容是：在 B 出现的前提下，A 出现的概率等于 A 出现的前提下 B 出现的概率乘以 A 出现的概率再除以 B 出现的概率。通过联系 A 与 B，计算从一个事件发生的情况下另一事件发生的概率，即从结果上溯到源头（也即逆向概率）。 通俗地讲就是当你不能确定某一个事件发生的概率时，你可以依靠与该事件本质属性相关的事件发生的概率去推测该事件发生的概率。用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该事件发生的的可能性就愈大。这个推理过程有时候也叫贝叶斯推理。
3. 如何理解贝叶斯公式
设A,B是两个事件，且 ，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率为：
一般事件A和B是同一实验下，不同结果组成的合集
根据韦恩图来理解一下：“事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率”。“事件B发生” = 样本的可选范围限制在B圈中，在这个情况下，A发生的概率(P(A|B)) = AB交集的样本数/B的样本数，通过分母相消，简化成概率相除。
由条件概率得：
进一步推广得：对于任意正整数 ，当 时，有：
事件组 满足：
1. 两两互斥，即 且
2.
则称事件组 是 样本空间的 的一个划分。
通俗讲，A发生的概率 = 发生的条件下A发生的概率和。
某实验样本的集合为 ，圆圈A代表事件所能囊括的所有样本， 为 的一个划分，A的样本数目可以通过与Bi的交集来获得，=（A∩B1的样本数）+（A∩B2的样本数）+····+（A∩Bn的样本数）。样本数公式和概率公式，本质上是一样的东西。
贝叶斯公式： 设 是样本空间 的一个划分，则对任一事件A，有
贝叶斯公式=全概率公式+乘法公式。解释：当事件A发生(或A为真)的条件下， 发生(或 为真)的概率。是在反溯事件发生的原因。
小华很害羞而且性格孤僻，虽然乐于助人，但却对周围的人或现实世界不太感兴趣。一个温顺而又井井有条的人，他做事条理性喜，热衷于钻研细节。综上，你认为“小华是一个图书管理员”或者“小华是一个农民”那个概率大？
答：小华是农民的概率大。下面我们使用贝叶斯公式来算一下
a. 在没有限制条件下，问：小华是什么工作？(这里我们假设只有管理员和农民两个选项)
答：农民， 根据国家统计局2017年发布数据，中国共有5.7亿农村人口，去除2.3亿外出务工人员，真正职业为农民的人数为3.4亿。中国的图书管理员人数为0.37亿(我瞎说的，计算方便)。那么小华是农民的概率为：3.4/(3.4+0.37)=90%，是管理员的概率为：0.1。
b. 那么根据条件1，问：小华的工作是什么？
答：农民， 根据我们的认知，图书管理员中符合条件1描述的比例大概为40%，用概率论的公式表示： 。农民中符合条件1描述的比例大概为10%(我知道“我爱发明”中有很多热爱钻研的农民，不用提醒我)，用概率论的公式表示： 。假设全国总人数为100，那么农民为90人，管理员为10人。在根据条件1的概率，符合条件1的农民：90*10%=9人，符合条件1的管理员：10*40%=4人，所以农民的概率大。
根据贝叶斯公式：
在满足条件1的情况下(条件1为真时)，小华是图书馆员的概率：
注：其中，农民和管理员在总人数的比例我们称之为：先验概率。
c. 条件2：小华爱好书法，问：小华的工作是什么？
答：管理员。 当a，b中的条件为真时，图书管理员爱好书法的概率为50%，农民爱好书法的概率为10%。那么根据贝叶斯公式：“小华爱好书法” 为真，则小华的工作是图书管理员的概率：
注：其中，满足问题ab的农民和管理员人数之比例我们称之为：先验概率。
问题的关键不是在于，人们对图书管理员和农民的形象认识是否有偏差， 而是在于，一般人做判断的时候，没人把农民和图书管理员的比例信息考虑进去， 这个比例是否准确不重要，重要的是，你是否考虑过。如果你考虑了，最起码可以做一个粗略的估计， 所以，理性不是说知道事实，而是知道哪些因素会影响事实。
鸣谢：B站up主：3Blue1Brown，传送门： https://www.bilibili.com/video/av84799361
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4. 贝叶斯公式怎么理解
贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。 贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则，尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果你看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。 用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。 贝叶斯公式又被称为贝叶斯定理、贝叶斯规则是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断进行修正的标准方法。 贝叶斯法则： 通常，事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系，贝叶斯法则就是这种关系的陈述。 作为一个规范的原理，贝叶斯法则对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中概率如何被赋值有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。一个结果就是，贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯法则。 贝叶斯法则是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的。
5. 贝叶斯公式的理解
能把P(城市|省份)和P(省份|城市)联系起来的公式叫贝叶斯公式。我们来看贝叶斯公式长什么样子。
用A表示省份，B表示城市，套入公式，即能把P(城市|C)和P(C|城市)联系起来。看到能够联系起来，上级工作人员很高兴，但是这公式有什么意义吗，是不是随便编造的一个公式，为何叫贝叶斯公式而不是叫陈佩斯公式？
贝叶斯公式以托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，1701-1761）命名的，贝叶斯是和牛顿同时代的牧师，同时也是一位业余数学家，和牛顿不同的是，贝叶斯的理论当时并未被重视，原因在于贝叶斯在统计当中引入了主观因素，即所谓的先验概率，这对于数学来说是大忌，数学应该是客观的，怎么能加入主观因素。因此，直到1950年左右，人们发现加入先验概率效果更好，贝叶斯的理论才被广泛接受。
一个理论能被广泛接受，一定是因为能够解决很多问题，那贝叶斯理论又解决了什么问题，为什么一个数学理论能够加入主观因素？
如果问抛硬币正面朝上的概率，很多人会肯定回答说概率是1/2，但这是想当然了，对于理想的硬币，正反面概率是均匀的，但是如果硬币动了手脚，那就不一定了，这个时候，要怎么去确定概率是多少？有人想到通过做抛硬币的试验来确定，例如抛5次硬币，统计正面和反面出现的次数，如果抛5次都是正面向上，我们能说正面向上的概率是100%吗？有人说，5次太少，那抛5000次以上总能计算概率大小吧，答案是可以，只是这种估计概率的方式成本太高了。事实上，现实生活中，有很多类似的例子是不能通过做试验来确定概率的，例如小明预测明天下雨的概率是30%，他无法重复过上明天100次，统计下雨的次数来计算下雨的概率。而贝叶斯理论，可以解决这种在有限信息条件下对概率的一个预估，贝叶斯理论的思路是， 在主观判断的基础上，先估计一个值（先验概率），然后根据观察的新信息不断修正(可能性函数) 。
我们继续来看贝叶斯公式，我们再用省份和城市来理解这个公式有点不太好理解，因为那个例子看起来我们所有的信息都知道了。这里再举另外一个例子来理解。
曾经有一个大神给我传授表白理论，他说如果女神从来没有单独出去逛街吃饭，这说明女神根本不喜欢你，表白的成功概率很低的，反之亦然。
我们以这个理论作为概率的例子，首先，分析给定的已知信息和未知信息：
1）要求解的问题：女神喜欢你，记为A事件
2）已知条件：经常和女神单独出门吃过饭，记为B事件
那么，P(A|B)就是女神经常和你单独出门吃饭这个事件(B)发生后，女神喜欢你的概率。把这个套入贝叶斯公式来理解一下。
贝叶斯可以分为三个部分，先验概率、可能性函数和后验概率。
1）先验概率
我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），先验概率是根据以往经验和分析得到的概率。这个例子里就是在不知道女神经常和你单独出门逛街的前提下，来主观判断出女神喜欢你的概率。因为是主观判断，我们可以给任何值，例如高富帅可以把这个概率设定得很高，为80%，也可以设定低一点，例如50%，这完全是根据个人经验做出的判断。这也是前面说的贝叶斯公式的主观因素部分。
2）可能性函数
P(B|A)/P(B)称为"似然函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，即新信息B带来的调整，作用是使得先验概率更接近真实概率。至于新信息带来的调整作用大不大，还得看因子的值大不大。
如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大，例如女神平时很少和别人出门逛街吃饭，那么这个调整因子特别有用，肯定是大于1的。
如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性，例如女神偶尔也和他人出门逛街吃饭，那么和女神出门吃饭没有我们带来任何信息，对判断女神是否喜欢你没有重大意义；
如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小，例如知道女神实际上有喜欢的人了，那该信息直接使得女神喜欢你的概率下降很厉害。
至于为什么似然函数的公式长这样的，这个留在以后再解释。
3）后验概率
P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。这个例子里就是在女神跟你出门逛街吃饭这个事件发生后，对女神喜欢你的概率重新预测。
通过这个例子，我们理解了贝叶斯公式，也知道了贝叶斯公式能够通过似然函数不断调整主观概率得到后验概率，使得预测更加准确，这也是为什么带有主观因素还能在数学界呆着的原因。也正因为这样，贝叶斯可以出现在所有需要作出概率预测的地方，例如垃圾邮件过滤，中文分词，疾病检查等。特别是在机器学习领域，贝叶斯理论更是一个绕不过去的门槛。
6. 贝叶斯公式怎么理解 贝叶斯公式该怎么理解
1、贝叶斯法则通俗解释是：通常，事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系,贝叶斯法则就是这种关系的陈述。 2、贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
7. 贝叶斯公式通俗理解
贝叶斯公式：
推导之前，我们需要先了解一下 条件概率 ：
已知数据如下：
P(A) 表是人为光头的概率，P(B) 表示为人为程序员的概率。 则 P(A) = 4/9 ，P(B) = 3/9 = 1/3 ，P(A, B) = 2/9 P(A|B) 则为程序员中光头的概率为：2/3 P(B|A) 则为光头中程序员的概率：2/4 = 1/2 则按照条件概率：P(A|B) = P(A, B)/ P(B) = 2/3 贝叶斯公式：P(A|B) = P(A)·P(B|A)/P(B) = 2/3 通过上面连个公式推导发现 条件概率 和 贝叶斯 的结果是一样的。
8. 贝叶斯公式的通俗解释 你弄懂了嘛
1、贝叶斯法则通俗解释是：通常，事件A在事件B(发生)的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系,贝叶斯法则就是这种关系的陈述。 2、贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如P(A|B)和P(B|A)。按照乘法法则，可以立刻导出：P(A∩B)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。如上公式也可变形为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。 3、贝叶斯的统计学中有一个基本的工具叫贝叶斯公式、也称为贝叶斯法则，尽管它是一个数学公式，但其原理毋需数字也可明了。如果你看到一个人总是做一些好事，则那个人多半会是一个好人。 4、这就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该属性成立的可能性就愈大。
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