长期成本函数怎么求?

1. 长期成本函数怎么求?

长期成本函数C=
Φ(Q)
，指反映在企业诸种投入要素的投入量都是可变的条件下产量与可能的最低成本之间关系的数学函数。长期成本函数的模型MINC=
（W1X1+W2X2
），s.t.f(X1
，X2)=y
，外生变量：W1
，W2
，Y
，内生变量：X1*
，X2*
，c*
，条件要素需求函数：X1=X1(W1
，W2
，Y)
，X2=X2(W1
，W2
，Y)
，成本函数：C(W1
，W2
，Y)
。

成本函数：
成本函数（cost function）指在技术水平和要素价格不变的条件下，成本与产出之间的相互关系。成本理论主要分析成本函数。成本函数和成本方程不同，成本函数说的是成本和产量之间的关系，成本方程说的是成本等于投入要素价格的总和，如果投入的是劳动L和资本K，其价格为PL和PK，则成本方程是C=L·PL+K·PK，成本方程是一个恒等式，而成本函数则是一个变量为产量的函数式。
性质：
从模型的描述和比较W1，W2，很容易得到一些关于长期成本函数和短期成本函数的关系。
性质1：给定要素价格，对任意的产量y，和任意的固定要素量X2，一定有C(W1，W2，Y))≤C(W1，W2，Y，X)。
证明：因为短期成本函数模型相对与长期成本函数的模型，所有条件都一样，只是增加了一条约束条件。所以短期成本函数模型中的可行域小于长期成本函数模型的可行域，从而前者的最小目标函数值不可能比后者的最小目标函数值值更小。而模型最小目标函数值正是成本函数值。
说明：这条性质说明，长期成本曲线在任意一条短期成本曲线的下方。
成本函数
成本函数
性质2：给定要素价格W1，W2，对任意的产量y，存在某个固定要素量X2，使得C(W1，W2，Y)=C(W1，W2，Y，X)。
证明：事实上，取*x2=x2=x2(w1，w2，y)，则从预算约束的成立，可以推知，一定有x(w1，w2，y，x)=x(w1，w2，y)，从而：C(w1，w2，y)=w1x1(w1，w2，y)+w2x2*=wx1(w，w，y，x*)+w2x2*=C(w1，w2，y，x*)。

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