零贝塔资产的公式推导

1. 零贝塔资产的公式推导

设定 风险资产在投资组合中的权重为Wi；则无风险资产的权重为1-Wi。E(Rp)=(1-Wi)RFR + WiRiδ2p=(1-Wi)2δf2+Wi2δi2+2(1-Wi)WiCov(f,i) （1）因为是无风险资产，所以δf=0；Cov(f,i)=0。所以：δp=Wiδi 或Wi= δp/δi (2)由(1)和(2)有：E(Rp)=RFR + [ ( Ri - RFR) /δi]δp (3)所以从(3)试中，可以看出，加入无风险资产后，组合期望收益与组合方差之间成呈线性关系，且直线斜率为( Ri - RFR) /δi。从图2中可以看出，当引入无风险资产后，新的投资组合效率边界就变成了射线CT；在该直线上的T点，投资者将资金全部用于购买风险资产，而在T点左下方，即线段CT上，投资者一部分资金用于购买无风险资产（或将该部分资金以无风险利率借出给别人使用），另一部分资金用于购买风险资产；而在T点的右上方的直线上表示投资者将自有资金全部用于购买风险资产的同时，又以无风险利率借入另一部分资金以购买更多的风险资产（买空风险资）。从图2中也可以看出：投资者的效用无差异曲线凹向纵轴，而马苛维茨效率曲线则凸向纵轴；更高的投资组合效率曲线CT就是下面将要讲述的资本市场线CML(Capital Market Line)；效用无差异曲线I与证券市场线CML相切的点，便是投资者最佳的投资组合点；偏好不同的投资者，可以选择不同比例的风险资产或无风险资以达到满足自已需求的投资组合。4． 证券市场线与贝塔值将上述单个资产换成市场组合（比如指数收益）时，上面的公式(3)变成如下的公试(4)：上面介绍资产组合的时候，都是指两个或多个独立的资产或者资产组合，这里要介绍的是单个资产与包含它的整个资产组合之间的关系。这种情况较为多见，比如单个股票，很自然是整个组票市场中的一部分，而要研究单个资产波动性与整个市之间的波动性，于是诞生了资本资产定价模型CAPM及其中著名的贝塔值。在继续介绍证券市场线SML与贝塔值(β)之前，先来学习两个概念。a． 承担系统风险是可以用收益弥补的。在马苛维茨资产组合理论中，已明确将风险分为系统风险和非系统风险，属于公司特有的非系统风险是可以通过资产组合和多元化投资分散掉的，因此不会得到收益补偿，从这个意义上来说，高风险不一定有高收益；而系统风险是不可以被分散掉的，但投资者可以通过更高的收益回报来补偿承担更高的风险。实践中，选取12支到18只股票（也有说30只的）就可以分散掉90%的非系统风险，所以一味增加持股数来分散掉市场风险要适可而止，考虑持股成本。b． 有效资产组合内部单个资产与资产组合本的再组合关系。要理清CAPM及其中著名的贝塔值之前，要先了解有效资产组合内部单个资产与资产组合本的再组合关，如图3所示。在图3中，单个资产i是有效组合g中的一个资产。曲线igg’表示资产i与组合g重新组合后的收益与风险关系，因为重新组合过后i在g组合中的比例变化，从而g组合中除图中g点外，就再不是有效组合了。假定投资于资产i的比例为α，投资于组合g的比例为(1-α)，则当α=1时，表明是全部资金投资于资产i；而α=0时表示全部资金投资于组合g；而α=0.5说明投资于资产i的比例高于50%，因为组合中已包含了资产i。如果在新的组合中资产i=0，则必须令α为负值。g’就表示当α为负值时的新组合。曲线igg’与资本市场线CML（也就是图中的RfgZ直线）相切于g点，这是很正常的，因为在市场均衡的情况下，所有这样的曲线都要与资本市场线相切。单个资产与有效组合重新组合而成的新组合曲线这所以与资本市场线相切，是因为：a. 这样的曲线是连续的；b. 这样的曲线一定会接触代表有效组合的那一点。如果不相切，就意味着与资本市场线相交，但此时，就会有些组合在资本市场线CML的上方，这是不可能的，因为资本市场线代表了全部有效率的组合。曲线igg’与资本市场相切这一特征可以用推导组合g中各单个资产的期望收益与整个资产组合之间的收益关系，这即是对资本资产定价模型CAPM的推导。由前面所述单个资产与包含该资产的组合的比例关系α和(1-α)，则资产i与g的新组合期望收益为：Rp=αRi­­ + (1-α) Rg (4)要注意的是，方差δp2=α2δi2+(1-α)2δg2+2α(1-α) Cov(i,g) (5)由于：dRp/dδp = (dRp/dα)/( dδp /dα), 即是曲线igg’上各点的斜率。所以：dRp/dδp=(Ri-Rg)/{1/2 [α2δi2+(1-α)2δg2 + 2α(1-α) Cov(i,g)]-1/2 } x1/[2αδi2 + 2αδg2 -2δg2 +2Cov(i, g) - 4αCov(i, g)]由于有效组合g是有效组合，且资产已经在组合g中，因此，在资产i与组合g进行重新组合时，α一定为0（否则g中资产i的比例将增加或减少，g不再是有效组合）。也即是在曲线igg’上的有效组合点g，α为0，且该点在证券市场线(图中的RfgZ直线)上，该点的斜率同时也与该证券市场线上的斜率相等。所以：dRp/dδp=(Ri-Rg)/[1/2(δg2)-1/2] x 1/[2Cov(i, g)-2δg2]={(Ri-Rg)/[ Cov(i, g)-δg2] } δg (6)这便是新组合中，有效组合点g相对于风险的价格，该值和证券市场线(图中的RfgZ直线)的斜率( Rg - RFR) /δg相等。由公式(3)很容易得到图3中证券市场线的方程：E(Rp)=RFR + [ ( Rg - RFR) /δg]δp所以有：{(Ri-Rg)/[ Cov(i, g)-δg2] } δg = ( Rg - RFR) /δg两边同时乘以δg后：( Rg - RFR) =(Ri-Rg) /[ Cov(i, g)-δg2] } δg2整理后得：Ri=RFR+[Cov(i,g)/δg2]( Rg - RFR) (7)当存在市场组合时，则将组合g换成市场组合M，就可以将(7)式表达为市场中的单个组合与整个市场之间的线性关系，即：Ri=RFR+[Cov(i,M)/δM2]( RM - RFR)令βi= Cov(i,M)/δM2则有：Ri=RFR+βi ( RM - RFR) (8)(8)式就是资本资本定价模型CAPM，也称之为证券市场线SML (Security Market Line)。该模型表示资产i在市场达到均衡时该资产的风险价格。由此模型可知，单个资产的总风险可以分为两个部分，一部分是市场合M收益变动而使资产i收益变动，即βi值，这是系统风险；另一部分剩余风险为非系统风险。所以单个证券在均衡时的价格与系统风险大小相关，而与非系统风险无关。非均衡时，单个证券的风险价格还要加上一个正溢价或负溢价，用阿尔法(α)表示，则完整的表达式为：Ri=RFR+βi ( RM - RFR) + α (9)(9)式中就成为那些追求超客收益（阿尔法）的基础。证券市场线SML的特点：a. 如果根据公司财报值估算的收益率低于SML上同β值的点，如图4中的A点，则表示高估，要卖出；如果估算值在SML上，如图中B点，则是正确定价，可买也可以卖；如果估算值高于SML，如图中的C点，则该证券被低估，要买入。b. 资本市场线CML表示的是有效组合期望收益与总风险之间的关系，因为CML上的点就是有效组合；而证券市场线表明的是单个资产或组合的期望收益与系统风险之间的关系，因此在证券市场上的点不一定在资本市场线上。c. 证券市场线既然表明单个证券的期望收益与其市场风险或系统风险之间的关系，因此在均衡的条件下，所有证券都将落在证券市场线上。d. 资本市场线实际上证券市场线的一个特例。当一个证券或一个证券组合是有效率的时候，该有效证券组合与市场组合的相关系统为1，此时证券市场线与资本市场线是相同的。所以，只有当证券与市场的相关系统ρiM=Cov(i,M)/ (δiδM)=1的时候，βi=δi/δM,此时的证券市场SML线就是资本市场线CML:E(Rp)=RFR + [ ( RM - RFR) /δM]δpe. 贝塔系数(β)是衡量单个资产相对于市场的波动性。