数学微分方程，条件：t=0时,x=0.其中C1、C2是常数。求x（t）

1. 数学微分方程，条件：t=0时,x=0.其中C1、C2是常数。求x（t）

2. 二阶非线性微分方程 X"＋2Xˊ＋5X=0 ， X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0求特解

这是个齐次二阶常系数微分方程，对应的初始条件为均0，意味着系统初始状态为0，由于系统无激励，系统的初始状态又为0，所以系统不运动，即X=0。
    对这种方程，最简单的是根据特征方程的根求系统的响应，即求微分方程的解。其原理如下：
设X=e^(st);带入微分方程，即得特征方程s^2+2s+5=0，解的根为：s1=-1+2i;s2=-1-2i。
故微分方程的解系的两个基为：X1=e^(s1*t)=e^(-t)*e^(i2t)；X2=e^(s2*t)=e^(-t)*e^(-i2t)。
通解X=C1*X1+C2*X2。注：因为是线性系统方程，解为基的线性组合。
    我们更一般的解法是将基转换成实函数的形式。根据欧拉公式，X1‘=（X1+X2）/2=e^(-t)*cos(2t)；同理，X2'=e^(-t)*sin(2t)。则X=C1'*e^(-t)*cos(2t)+C2'*e^(-t)*sin(2t)。
     根据初始条件 X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0，可解得C1‘=0；C2'=0。验证了上面的结论，另外，可以将解带入原微分方程进行检验。

3. 二阶非线性微分方程 X"＋2Xˊ＋5X=0 ， X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0求特解

首先,X的各阶导数没有超过一次,所以这是一个线性微分方程哦
由你的题目来看,X是t的函数,原方程即X"(t)+2X'(t)+5X(t)=0 , X(0)=0 ,X'(0)=0
这是一个缺t型的可降阶的二阶微分方程,所以令X'=P , X''=dP/dt=dP/dX·dX/dt=P·dP/dX
原方程转化为: P·dP/dX+2P+5X=0 , 
到这里问题又出现了,求特解先要求出方程通解,而求通解默认的是P不等于0

然后可以两边同除以P: dP/dX+2+5X/P=0 , 这是一个齐次微分方程,所以令P/X=u,P=uX
原方程转化为: X·du/dX+u+2+5/u=0 , X·du/dX=-(u+2+5/u) , 1/(u+2+5/u)du=-1/XdX
两边同时积分: 11/18·ln(u^2+2u+5)-1/9·u/(u^2+2u+5)-2/9·u=lnX+C1 (这个过程比较复杂)
代入u=P/X , P=X' , 继续积分

而你提供的数据X=0,已经是方程的特解了

4. 二阶非线性微分方程 X"＋2Xˊ＋5X=0 ， X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0求特解

这是个齐次二阶常系数微分方程，对应的初始条件为均0，意味着系统初始状态为0，由于系统无激励，系统的初始状态又为0，所以系统不运动，即X=0。
对这种方程，最简单的是根据特征方程的根求系统的响应，即求微分方程的解。其原理如下：
设X=e^(st);带入微分方程，即得特征方程s^2+2s+5=0，解的根为：s1=-1+2i;s2=-1-2i。
故微分方程的解系的两个基为：X1=e^(s1*t)=e^(-t)*e^(i2t)；X2=e^(s2*t)=e^(-t)*e^(-i2t)。
通解X=C1*X1+C2*X2。注：因为是线性系统方程，解为基的线性组合。
我们更一般的解法是将基转换成实函数的形式。根据欧拉公式，X1‘=（X1+X2）/2=e^(-t)*cos(2t)；同理，X2'=e^(-t)*sin(2t)。则X=C1'*e^(-t)*cos(2t)+C2'*e^(-t)*sin(2t)。
根据初始条件
X︱t=0
=0
，Xˊ︱t=0
=0，可解得C1‘=0；C2'=0。验证了上面的结论，另外，可以将解带入原微分方程进行检验。

5. 求解微分方程x'(t)-x(t)=e^-t，x(0)=-1.

答：
x'-x=e^(-t)
(x'-x)e^(-t) =e^(-2t)
[ xe^(-t)] '=e^(-2t)
两边积分：
xe^(-t)= -(1/2)e^(-2t)+C
x(t)=-0.5e^(-t)+Ce^t
x(0)=-0.5+C=-1
解得：C=-0.5
所以：x(t)=- (e^t +1/e^t) /2

6. 微分方程x"(t)+x(t)=0的通解为

【摘要】
微分方程x"(t)+x(t)=0的通解为【提问】
【回答】
解答过程如图片所示，希望我的解答对您有所帮助，谢谢～【回答】

7. 求解微分方程x'(t)-x(t)=e^-t，x(0)=-1.

答：
  x'-x=e^(-t)
  (x'-x)e^(-t) =e^(-2t)
  [ xe^(-t)] '=e^(-2t)
  两边积分：
  xe^(-t)= -(1/2)e^(-2t)+C
  x(t)=-0.5e^(-t)+Ce^t
  x(0)=-0.5+C=-1
  解得：C=-0.5
  所以：x(t)=- (e^t +1/e^t) /2

8. 二阶非线性微分方程 X"＋2Xˊ＋5X=0 ， X︱t=0 =0 ，Xˊ︱t=0 =0求特解

首先,X的各阶导数没有超过一次,所以这是一个线性微分方程哦
由你的题目来看,X是t的函数,原方程即X"(t)+2X'(t)+5X(t)=0
,
X(0)=0
,X'(0)=0
这是一个缺t型的可降阶的二阶微分方程,所以令X'=P
,
X''=dP/dt=dP/dX·dX/dt=P·dP/dX
原方程转化为:
P·dP/dX+2P+5X=0
,
到这里问题又出现了,求特解先要求出方程通解,而求通解默认的是P不等于0
然后可以两边同除以P:
dP/dX+2+5X/P=0
,
这是一个齐次微分方程,所以令P/X=u,P=uX
原方程转化为:
X·du/dX+u+2+5/u=0
,
X·du/dX=-(u+2+5/u)
,
1/(u+2+5/u)du=-1/XdX
两边同时积分:
11/18·ln(u^2+2u+5)-1/9·u/(u^2+2u+5)-2/9·u=lnX+C1
(这个过程比较复杂)
代入u=P/X
,
P=X'
,
继续积分
而你提供的数据X=0,已经是方程的特解了