十堂极简概率课3

1. 十堂极简概率课3

 帕斯卡和费马的第二次讨论是关于 点数问题  。
    点数问题 
   两名水平相当的玩家正在进行一场多局赌博。每赢一局就可以得到一点。他们一致同意，第一个达到特定点数的玩家获胜，并赢得最后赌注。在进行了若干轮之后，赌局被打断了，此时该如何分配赌金。
    帕乔利问题 
   1494年帕乔利考虑过这个问题：在一场只要得到6点就胜利的赌局中，甲已经获得5点，乙已经获得3点。帕乔利认为此时中断赌局后，赌金应当按  分配。
   50年后塔尔利亚提出疑问。如果赌局继续进行，甲赢下下一局，那他就会得到所有赌注。但是他没有想出这个问题的答案。
   费马的解答是：假设甲和乙距离赢得赌局分别还差  点和  点，那么赌局会在  轮结束。当然赌局也可能会提前结束。由于每轮胜负率是确定的，所以只需要考虑  轮的投掷结果即可。此时该问题简化为一个 等概率情况问题 。
   帕乔利问题中，最多只要进行3轮就可以结束赌局。乙只有赢得接下来的3轮才能赢得赌局，他的期望是  ，而甲的期望是  。赌金应当按  分配。
    扩大帕乔利问题 
   帕乔利问题中，只要计算3轮的情况即可，但有时候，轮数会更多，多到难以估计。比如，如果甲没有得分，乙得到1分。此时终止赌局，最多还可以进行10轮，总共有  中可能结果。
   甲赢得赌局的情况为：10赢6、10赢7、10赢8、10赢9、10赢10。甲的获胜概率为  。
   因此赌金应当按  分配。
    点数问题拓展 
   帕斯卡讨论的另一个问题也很有趣。
   再多进行1轮。情况为：甲、乙。甲的期望为  枚金币。乙为  枚金币。
                                           作者的点评如下：
   继续迭代，
   赌局至多2轮就会结束，情况分别为：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。甲的期望为  枚金币。乙的期望为8枚金币。