由“害羞”的莫比乌斯到“圆润”的霍迪奇定理

1. 由“害羞”的莫比乌斯到“圆润”的霍迪奇定理

害羞的莫比乌斯
  
 德国数学家莫比乌斯
  
 是一位害羞、不善于社交又容易忘东西
  
 的学者，
  
 他一生中最重要的发现
  
 莫过于莫比乌斯带。
                                          
 当他发现这个图形时，
  
 莫比乌斯已经是位年近70岁的老人了。
  
 如果小伙伴们想自己造出莫比乌斯带
  
 很简单，
  
 只需要把一条长方形纸带
  
 其中一端旋转180°
  
 再让这条纸带头尾相连就可以了
  
 这时，你会得到：
  
 
  
                                          
 这个图形中，
  
 只有一个面，
  
 换句话说，
  
 一只小虫沿着这条纸带行走的话
  
 它可以到达纸带上任意一个位置
  
 并且不需要穿越边缘。
  
 如果用彩笔给莫比乌斯带着色的话，
  
 是不可能画出一边红色、
  
 一边蓝色的结果的。
  
 
  
  
 莫比乌斯提出这个图形不久就去世了，
  
 可是它的运用却越来越广泛，
  
 在数学、魔术、艺术、工程、文学、音乐
  
 等领域，
  
 都可以见到它的身影；
  
 最有意义的是，
  
 垃圾回收标志也是莫比乌斯带。
                                          
 莫比乌斯带本身隐含着
  
 把废弃物质转化为可用资源的意义。
  
 现代社会中，
  
 只要你留心，
  
 会发现此类模型随处可见。
                                          
 诸如：
  
 分子构造、金属雕刻、邮戳标志、文学创造、技术专利……
  
 甚至用来比喻人类所处的宇宙模型。
                                          
 莫比乌斯差不多是和另一位数学家
  
 利斯汀同时发现的这一图形，
  
 只是，莫比乌斯更理解它。
  
 提出了很多相应的观察及研究。
  
 莫比乌斯带是史上第一个被人类注意
  
 并加以研究的单面曲面。
  
 直至19世纪中叶以前没人描述过单面曲面~
  
 强如：欧几里得、欧拉等大神也没有研究过
  
 这似乎很难令人相信。
  
 我们找遍数学史，
  
 真的没有任何相关记录。
  
 基于莫比乌斯带身为拓扑学第一个，
  
 也是唯一一个在一般社会大众中
  
 具有如此高知名度的研究主题，
  
 这么伟大且优雅的发现值得我们
  
 每一个人去认知它！
  
 
  
  
  霍迪奇定理 
  
 诸位看官，
  
 请先随意画出一个封闭、外凸的
  
 平滑曲线C1，
  
 再请您在曲线C1内随意取一固定长度的弦
  
 （弦：两端点都在曲线上的线段）
  
 紧接着，
  
 让这条弦按照两端点与曲线C1相接的条件，
  
 在曲线内绕行一圈
  
 （类似用一牙签在一个固定的曲线上滑行）
  
 现在如果我们对这条弦上任取一点M，
  
 这个点M将弦分成长度为p、q两段，
  
 那么这个点M随着弦的绕行一圈，
  
 点M也会形成一个封闭的曲线轨迹，
  
 我们假定这个轨迹为C2，
  
 根据霍迪奇定理，
  
 如果曲线C1的外形足以让弦长完整绕一圈的话，
  
 则C1、C2两曲线之间的面积为
  
 πpq
  
 与曲线C1的形状一毛钱关系都没有，
                                          
 AMAZING?!!!
  
 在超过100多年的时间里，
  
 人们对霍迪奇定理都感到不可思议。
  
 比如英国数学家库克就曾经在
  
 1988年写道：
  
 我马上就因为两个理由而震慑于霍迪奇定理，
  
 一个是两个曲线之间的面积公式居然和曲线C1原本的大小无关；
  
 另一个是曲线之间的面积公式相当于以p、q为半轴的椭圆形面积。
  
 可是这个定理却没有任何一句话提到过椭圆形。
  
 令人尊敬的19世纪中叶剑桥大学
  
 凯斯学院院长霍迪奇
  
 在1858年提出这个定理，
  
 如果曲线C1是一个半径为R的圆，
  
 则霍迪奇曲线C2会是一个圆，
  
 而且半径r会是
                                          
 下面，
  
 我们简单运用初中知识对其初步证明。
                                          
 由垂径定理可知：p+x=q-x，
  
 可得：x=（q-p）/2；
  
 再由勾股定理，可得：
                                          
  文章首发于公号【趣味数学故事】