最小二乘法的拟合

1. 最小二乘法的拟合

对给定数据点集合，在取定的函数类中，求，使误差的平方和最小，。从几何意义上讲，就是寻求与给定点集的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 最小二乘法的矩阵形式最小二乘法的矩阵形式为：其中 为 的矩阵， 为 的列向量， 为 的列向量。如果 （方程的个数大于未知量的个数），这个方程系统称为矛盾方程组（Over Determined System），如果 （方程的个数小于未知量的个数），这个系统就是Under Determined System。正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 ，解出其中的 。比较直观的做法是求解 ，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对 进行QR分解（ ），其中 是 正交矩阵（Orthonormal Matrix）， 是 上三角矩阵（Upper Triangular Matrix），则有  用MATLAB命令  x=R\(Q\b)可解得 。 最小二乘法的Matlab实现① 一次函数线性拟合使用polyfit（x,y,1）②多项式函数线性拟合使用 polyfit（x,y,n），n为次数拟合曲线x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。解：MATLAB程序如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.5:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560③非线性函数使用lsqcurvefit(fun,x0,x,y) a=nlinfit(x,y,fun,b0)最小二乘法在交通运输学中的运用交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。 回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析，建立因变量和自变量的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变量，X是自变量，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标 i 标记所有变量；如果用它研究分区交通吸引，则以下标 j 标记所有变量。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解，上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得：其中，式中的X拔是规划年的自变量值，Y拔是规划年分区交通生成（或吸引）预测值。

2. 最小二乘法拟合

a=2  -3794.2

3. 在什么情况下用最小二乘拟合方法

模型已知, 而待求解的参数无法精确求出, 并且给的条件(或者是观测值)比参数个数多时, 可以考虑使用.


比如通常的线性最小二乘问题: 模型y=ax+b, 待求解的参数是a,b.

已知 x=1 时 y=2, x=2 时 y=4.1, x=3 时 y=5.9, 即是说给了三组条件, 多于参数个数, 那么就用最小二乘拟合.
如果只给了两组条件, 那就是联立方程求解的问题了.

另外, 最小二乘拟合通常是用在观测有误差的情况中(比如用于察看统计数据的规律). 概率论有证明, 在一定条件下, 最小二乘拟合得到的是期望上最好的结果.

4. 最小二乘法的线性拟合

题中所给数据可表示为y(x)，即x=1、2、3、...、19，y(1)=0.898、y(2)=2.38、...、y(19)=81.8(见题);令Δ(x)=ae^(bx)-y(x)①，方差D=∑(x=1→19)[Δ(x)]^2②;②式分别对a、b求偏导，ðD/ða=2∑(x=1→19)Δ(x)e^(bx)③;ðD/ðb=2a∑(x=1→19)xΔ(x)e^(bx)④;令ðD/ða=0、ðD/ðb=0，则③、④变为:a∑(x=1→19)e^(2bx)=∑(x=1→19)y(x)e^(bx)⑤;a∑(x=1→19)xe^(2bx)=∑(x=1→19)xy(x)e^(bx)⑥;联立⑤、⑥即可求得a、b;⑤、⑥为超越方程，求解析解很困难，采用数值解法得:a≈0.23688176、b≈0.30897789，均方差=√D≈8.6553、最大偏差(绝对值)≈5.34(发生在x=17时)。

5. 最小二乘法拟合曲线

曲线函数求出来之后就只可带横坐标算纵坐标了对应描点连线就可以了，编辑框 把编辑框的句柄传入onpaint中就可以绘图了。
help polyfit。
POLYFIT Fit polynomial to data。
POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of。
degree N that fits the data, P(X(I))~=Y(I), in a least-squares sense。
The structure S contains the Cholesky factor of the Vandermonde。
matrix (R), the degrees of freedom (df)，and the norm of the。
residuals (normr) as fields。

工程设计
所得到的数据往往是一张关于离散数据点的表 ，没有解析式来描述 x-y关系。根据所给定的这些离散数据点绘制的曲线，称为不规则曲线，通常用曲线拟合的方法解决这类问题。
所谓曲线拟合方法是由给定的离散数据点，建立数据关系(数学模型)，求出一系列微小的直线段把这些插值点连接成曲线，只要插值点的间隔选择得当，就可以形成一条光滑的曲线。

6. 曲线拟合的最小二乘法

对于曲线拟合函数ψ(x)，不要求其严格的通过所有数据点，也就是说拟合函数ψ(x)在xi处的偏差（亦称残差）不都严格的等于零，即为矛盾方程组：为了是近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，要求偏差按照某种度量标准最小。这后面的分析用到了范数的概念。这种方法就叫做曲线拟合的最小二乘法。

我们新建并打开一个excel表格，在excel中输入或打开要进行最小二乘法拟合的数据。此时按住“shift”键，同时用鼠标左键单击以选择数据。单击菜单栏上的“插入”-“图表”-“散点图”图标。
此时，我们选择第一个“仅带数据标记的散点图”图标，随后我们可以在窗口中间弹出散点图窗口。鼠标左键单击上边的散点，单击鼠标右键，弹出列表式对话框，再单击“添加趋势线(R)”。右侧就会弹出“设置趋势线格式”对话框。

利用最小二乘法将上面数据所标示的曲线拟合为二次曲线，使用c语言编程求解函数系数；最小二乘法原理 原理不再赘述，主要是解法采用偏微分求出来的。

7. 最小二乘法拟合曲线

最小二乘法多项式曲线是根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y=φ(x)。按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。
为了使其尽可能反映所给数据的变化趋势，我们可以要求偏差的绝对值尽可能小，甚至是所有偏差中的最大值尽可能小。我们可以通过使选取的近似曲线在节点xi处的偏差的平方和达到最小来实现这一目标，这一原则就是最小二乘原则。

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

8. 最小二乘法拟合计算软件怎么用啊？

可以的 
我没用过 
帮你查了 

应用EXCEL实现最小二乘法计算的方法有：利用EXCEL函数、利用数据分析工具、添加趋势线等。 
⑴ 表格与公式编辑 
将最小二乘法计算过程，应用电子表格逐步完成计算，得到结果。 
⑵ 应用EXCEL的统计函数 
A、LINEST（） 
使用最小二乘法对已知数据进行最佳直线拟合，然后返回描述此直线的数组。也可以将LINEST与其他函数结合以便计算未知参数中其他类型的线性模型的统计值，包括多项式、对数、指数和幂级数。因为此函数返回数值数组，所以必须以数组公式的形式输入。 
B、SLOPE（） 
返回根据known_y's和known_x's中的数据点拟合的线性回归直线的斜率。斜率为直线上任意两点的重直距离与水平距离的比值，也就是回归直线的变化率。 
C、INTERCEPT（） 
利用现有的x值与y值计算直线与y轴的截距。截距为穿过已知的known_x's和known_y's数据点的线性回归线与y轴的交点。当自变量为0（零）时，使用INTERCEPT函数可以决定因变量的值。 
D、CORREL（） 
返回单元格区域 array1和 array2之间的相关系数。使用相关系数可以确定两种属性之间的关系。 
⑶ 添加趋势线 
添加趋势线的应用较其他方法直观，可以用来完成直线回归，也可以用来完成非线性回归。具体方法不再赘述。 
⑷ 数据分析工具 
“回归”分析工具通过对一组观察值使用“最小二乘法”直线拟合来执行线性回归分析。本工具可用来分析单个因变量是如何受一个或几个自变量的值影响的。 
“回归分析”对话框 
Y值输入区域 在此输入对因变量数据区域的引用。该区域必须由单列数据组成。 
X值输入区域 在此输入对自变量数据区域的引用。Microsoft Office Excel 将对此区域中的自变量从左到右进行升序排列。自变量的个数最多为16。 
标志 如果数据源区域的第一行或第一列中包含标志项，请选中此复选框。如果数据源区域中没有标志项，请清除此复选框，Excel将在输出表中生成适当的数据标志。 
置信度 如果需要在汇总输出表中包含附加的置信度，请选中此选项。在框中，输入所要使用的置信度。默认值为95%。 
常数为零 如果要强制回归线经过原点，请选中此复选框。 
输出区域 在此输入对输出表左上角单元格的引用。汇总输出表至少需要有七列，其中包括方差分析表、系数、y 估计值的标准误差、r2 值、观察值个数以及系数的标准误差。 
新工作表 单击此选项可在当前工作簿中插入新工作表，并从新工作表的 A1 单元格开始粘贴计算结果。若要为新工作表命名，请在框中键入名称。 
新工作簿 单击此选项可创建新工作簿并将结果添加到其中的新工作表中。 
残差 如果需要在残差输出表中包含残差，请选中此复选框。 
标准残差 如果需要在残差输出表中包含标准残差，请选中此复选框。 
残差图 如果需要为每个自变量及其残差生成一张图表，请选中此复选框。 
线性拟合图 如果需要为预测值和观察值生成一张图表，请选中此复选框。 
正态概率图 如果需要生成一张图表来绘制正态概率，请选中此复选框。