期权风险中性定价

1. 期权风险中性定价

 很多小伙伴在学金融工程时，必然会遇到这样一个问题是  为什么在期权定价中可以使用风险中性定价 ？
   但追根究底地说，
   风险中性不是假设，而是推论。   风险中性不是假设，而是推论。   风险中性不是假设，而是推论。
   而这篇文章，就带着你将这个推论一步一步地推导出来。
   所谓的期权风险中性定价法，即在风险中性测度  下，推导得到期权的价值为  ，即
   其中，  为    时刻的无风险利率，  为    时刻的   代数，  则为期权在  时刻到期时支付的现金流。(例如，对于常见的欧式看涨期权，  )
   特别的，在  的情况下
   细心的同学可以发现，  是定义在  上的变量，而  则是一个常量。而这个常量的值，正是我们希望得到的期权在  时刻的价值。
   所以我们的问题就进一步转化为了对上述公式的证明。
   如果不用数学公式来回答的话，那么答案可以概述为：
   现在我们开始一步步展开，并配合数学公式来解释回答这个问题。
   假设目前有两个资产，分别是 股票    和 现金账户   ，
   其中  是现实测度  下的标准布朗运动
   如果变换测度到  下，则上述公式转化为
   其中  是风险中性测度  下的标准布朗运动。
   看到这里你可能会有疑惑，怎么突然就用到了测度转换了。别着急，这在文章后半部分 “为什么要用风险中性” 中就会给出解释。
   所谓的风险中性测度，只是众多可变换的测度中的一种，例如，我们亦可以将测度转化为远期测度(Forward measure)进行定价，当然这是后话。
   而提到测度，就不得不提及计价单位(Numeraire)这个概念，引用吴立新教授《Interest Rate Modeling Theory and Practice》一书的原话来说，即
   把它翻译到我们这个案例里：
   理解了何为风险中性测度后(what)，剩下的问题就是 why 和 how
   直接的回答就是前文提及到的风险中性定价法在金融上的解释：
   该组合需要具备有两个非常重要的性质
    而利用风险中性测度，就能找到这样的一个资产组合。 
   假设我们已经利用了风险中性测度完成了对股票价格运动过程的转换，即
   那么股票以无风险资产(现金账户)作为计价单位的价格运动可以记为  
   根据伊藤公式可以展开为
   因为  是风险中性测度  下的标准布朗运动，故而  在测度  下是一个鞅，记为  。而    是  才能引出后文的 Martingale Representation Theorem .
   因为  是定义在  上的变量，同样的，  和  也是。
   故而，我们可以定义一个新的变量  ,
     可以视为  投影到  空间上的变量，且很容易地可以看出  也是一个  ，证明如下：
   根据 Martingale Representation Theorem ，因为  和  都是定义在同一测度空间上的变量，故而必然存在这么一个  ，使得
   于是我们得以确定了这个  ，而这也是整个定理逻辑的核心。因为我们可以根据这个  开始构建我们的投资组合：
   其中  ，故而这个组合的折现价值为
   进一步观察可以发现
   由以上公式可以得到这个组合拥有我们要找的两个特质
   当一个资产组合具备这两个特质的时候，我们便可以推出，该资产组合和期权拥有一样的价值，否则就回存在套利机会。
   这就引出了最重要的结论：
   是的，重复一遍
   将  展开成指数形式，可以得到我们的最终结论
   至此，推导结束，情理之中、意料之外地得到了风险中性定价公式。 :)
   这部分知识在大部分随机过程的书本上都有提及，维基百科 Girsanov theorem 也有较为详细的说明，所以此处就不赘述了。
   特别地，在学习测度转换的过程中，给我启发最大的是这样一个方程
   启发在于，测度的转化，类似于将其每个事件元素的概率进行了一定的调整。
   所以，如果说  是一个  ，那么  就是  。
   而找到了这个  ，就等于找到了测度转换的答案。
   至此，整个证明过程结束了。不知小伙伴有没有消化了呢，欢迎Email或留言交流。
   Ps. 近期我会开始更新这个博客，求关注哦 :P

2. 无套利定价方法与风险中性定价方法的联系与区别

　　一、区别在于两种定价方法思路不同
　　无套利定价法的思路：其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。 
　　风险中性定价法的基本思路： 假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须与股票目前的价格相等，因此可以求出概率P。然后通过概率P计算股票价格
　　二、联系
　　总的来说两种种定价方法只是思路不同，但是结果是一样的，并且风险中性定价法是在无套利分析的基础上做出了所有投资者都是风险中性的假设。

3. 无套利定价方法与风险中性定价方法的联系与区别是什么？

　　一、区别在于两种定价方法思路不同
　　无套利定价法的思路：其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。 
　　风险中性定价法的基本思路： 假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须与股票目前的价格相等，因此可以求出概率P。然后通过概率P计算股票价格
　　二、联系
　　总的来说两种种定价方法只是思路不同，但是结果是一样的，并且风险中性定价法是在无套利分析的基础上做出了所有投资者都是风险中性的假设。

4. 无套利定价方法与风险中性定价方法的联系与区别是什么？

一、区别在于两种定价方法思路不同
　　无套利定价法的思路：其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。

　　风险中性定价法的基本思路：
假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须与股票目前的价格相等，因此可以求出概率P。然后通过概率P计算股票价格
　　二、联系
　　总的来说两种种定价方法只是思路不同，但是结果是一样的，并且风险中性定价法是在无套利分析的基础上做出了所有投资者都是风险中性的假设。

5. 无套利定价方法与风险中性定价方法的联系与区别是什么？

　　一、区别在于两种定价方法思路不同
　　无套利定价法的思路：其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。

　　风险中性定价法的基本思路：
假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须与股票目前的价格相等，因此可以求出概率P。然后通过概率P计算股票价格
　　二、联系
　　总的来说两种种定价方法只是思路不同，但是结果是一样的，并且风险中性定价法是在无套利分析的基础上做出了所有投资者都是风险中性的假设。

6. 无套利定价方法与风险中性定价方法的联系与区别是什么？

一、区别在于两种定价方法思路不同无套利定价法的思路：其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。风险中性定价法的基本思路：假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须与股票目前的价格相等，因此可以求出概率P。然后通过概率P计算股票价格二、联系总的来说两种种定价方法只是思路不同，但是结果是一样的，并且风险中性定价法是在无套利分析的基础上做出了所有投资者都是风险中性的假设。

7. 无套利定价是指无风险套利套利定价还是指没有套利机会下市场的均衡价格啊？那和风险中性定价又有区别啊？

　　风险中性定价是在一个假象的风险中性概率测度下给出的数学期望。资产价格在风险中性测度下，其贴现值为鞅。风险中性定价是一种无套利定价，因为可以证明存在一个随机过程来对冲衍生品的头寸。

　　无套利定价原理（non-arbitrage pricing principle），金融市场上实施套利行为非常的方便和快速，这种套利的便捷性也使得金融市场的套利机会的存在总是暂时的，因为一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中，因此，无套利均衡被用于对金融产品进行定价。金融产品在市场的合理价格是这个价格使得市场不存在无风险套利机会，这就是无套利定价原理。

　　无套利定价法基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。

8. 风险中性定价理论的介绍

风险中性理论（又称风险中性定价方法 Risk Neutral Pricing Theory ）表达了资本市场中的这样的一个结论：即在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格依然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格是与投资者的风险态度无关的。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。