二重积分一定可积吗

1. 二重积分一定可积吗

这是我的理解：
二重积分和二次积分的区别
二重积分是有关面积的积分，二次积分是两次单变量积分。
①当f(x,y)在有界闭区域内连续，那么二重积分和二次积分相等。对开区域或无界区域这关系不衡成立。
②可二次积分不一定能二重积分。如对[0,1]*[0,1]区域，对任意x∈[0,1]可定义一个对y连续的函数g(x,y)（y∈[0,1])∫g(x,y)dy=1.那么∫dx∫g(x,y)dy有意义，一般地∫∫g(x,y)dσ没意义。
③可以二重积分不一定能二次积分。区域S={(x,y)|x>=1,|y|<=1/x^3}。恒等函数f(x,y)=1,(x,y)∈S。f在S上可以二重积分却不能二次积分（先对x再对y求积分，在y=0那条线上积分无穷）。
积分对调
上面③的例子中积分对调了一个可以积分，一个不可以积分（先对y积分x固定时积分得到2/x^3.2/x^3对x(x属于[1,无穷）可积分。
可对调x,y的情况是
连续且绝对可积，对x或y求分步积分存在。特殊情况函数在有界闭区域连续可对调x,y，这时由于连续性函数在闭区域存在极值。
积分变换一定要求变换后的积分区间与原来相同，且不能有重复积分的情况
回答于 2019-04-22
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2. 二重积分为什么不能这样积？

二重积分求的是体积，其中被积函数是高，dxdy是面积微元，被积函数会因x、y的变化而变化，转为极坐标后则受r、θ的变化而变化，于是有解析的做法。
解析里那个r 是转为极坐标后自然得到的，并非用D的表达式来改变被积函数，
 
而最下一行的做法是直接用D的表达式把被积函数改了，且改成常数，再不会因x、y的变化而变化，故而不正确。

祝愉快

3. 关于二重积分和定积分的问题

第一个积分变成第二个积分其实类似于定积分中的变量代换。
比如，在第一个积分中令x=u，y=v
积分就变成：

再令u=y，v=x
不就变成第二个积分了吗。

另外，你的第二个问题：

4. 关于二重积分

二重积分的计算方法

5. 关于二重积分的问题

可用极坐标来解。
设x=rcosθ，y=rsinθ  
定义域为单位圆在第一象限的闭区域
所以，0≤θ≤½π，0≤r≤1
x²+y²=r²  
原式=∫∫[√￣（1-r²）/（1＋r²）]rdr
即可求解

6. 什么是二重积分？

将一元函数积分推广来看对于连续函数 f(x,y) 如何求二重积分. 每个二重积分都可以方便地用定积分的方法分步进行计算。
矩形区域上的二重积分
设 f(x,y) 在矩形区域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定义。 如果 R 被分别平行于 x 轴和 y 轴的直线网格所划分成许多小块面积 ∆ A="∆ x∆ y" 。

扩展资料
对直角坐标来说，主要考点有两个：
一是积分次序的选择，基本原则有两个：一是看区域，选择的积分次序一定要便于定限，说得更具体一点，也就是要尽量避免分类讨论;
二是看函数，要尽量使第一步的积分简单，选择积分次序的最终目的肯定是希望是积分尽可能地好算一些，实践表明，大多数时候，只要让二重积分第一步的积分尽可能简单，那整个积分过程也会比较简洁；
所以在拿到一个二重积分之后，可以根据它的被积函数考虑一下第一步把哪个变量看成常数更有利于计算，从而确定积分次序。
二是定限，完成定限之后，二重积分就被化为了两次定积分，就可以直接计算了。

7. 关于二重积分问题

关于x是奇函数，就是把y看成常数，实在理解不了，就把y看成是1，如z=xy，看成z=x，就是奇函数，z=x^2*y，看成z=x^2，就是偶函数，讨论关于x是什么函数，与y无关，讨论关于y是什么函数，与x无关。
        关于x是奇函数，把y看成常数，积分区域关于y轴对称时，它的积分你可以按照定积分的方法理解，y=sin x，在﹣π到π上，在x轴上方和下方的面积相等，代数和为0，定积分为0。二重积分同理，z=y*sin x，在﹣π到π上，在空间里z关于原点对称，所以xoy平面上方和下方的体积相等，代数和为0。
        被积函数是关于y是奇函数，且积分区域是关于x轴对称的，那么它的积分是0。同理。

8. 有关二重积分

积分区域：x2+y2<=a2-h2（a,h为常数）显然此这是一个圆形区域，圆心为原点，且此区域关于x和y轴都是对称的 被积函数为： [x+y+√(a2-x2-y2)] * a/√(a2-x2-y2) =a(x+y)/√(a2-x2-y2) + a 注意在做定积分题目的时候，先看积分区域的对称性，再看被积函数关于x和y的奇偶性， 如果积分区域D关于x轴对称，被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，积分值为0；被积函数f(x,y)是关于y的偶函数，积分值为对称区域其中之一的二倍．而如果积分区域D关于y轴对称，被积函数f(x,y)是关于x的奇函数，积分值为0；被积函数f(x,y)是关于x的偶函数，积分值为对称区域其中之一的二倍 比如对奇函数2x在(-a，a)上积分，得到原函数是x2，代入上下限积分值就是0， 而对偶函数3x2在(-a，a)上积分，得到原函数是x^3，代入上下限积分值就是2a^3，显然是在(0，a)上积分值的两倍这道题积分区域x2+y2<=a2-h2 关于x和y轴都是对称的，而积分函数 a(x+y)/√(a2-x2-y2) + a =ax /√(a2-x2-y2) + ay/√(a2-x2-y2) + a 在这里ax /√(a2-x2-y2)是关于x的奇函数，而ay/√(a2-x2-y2)是关于y的奇函数， 所以a(x+y)/√(a2-x2-y2)在积分区域x2+y2<=a2-h2 进行定积分得到的积分值就是0 故原积分就等于 a 在积分区域x2+y2<=a2-h2 上的积分